Unterrichtsmaterial Dreisatz indirekt (Wandtafelbild)

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jpg-Tafelbild

Dreisatz indirekt

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Informationen

Einreihung im Stoffplan bzw. im Lehrplan der Schule

Typ :Wandtafelbilder, Tafelbilder
Format :jpg-Bild
Fach :Mathematik (Arithmetik & Algebra)
Lektionsreihe :Dreisätze

Stufe :Sekundarstufe 1, Realschule, Sekundarschule, Hauptschule
Klasse :7. Klasse, 1. Oberstufe

 

Vorschau

Anschauungsmaterial für die Schüler und SchülerInnen als Mustervorlage für die Lehrerin oder den Lehrer in einer jpg-Bilddatei

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Referenz

Hintergrundinformationen zu
den Inhalten an der Wandtafel

[ Dreisatz © wikipedia.org ]

 

Der Dreisatz (früher auch: die Regel de tri [von französisch Règle de tri, von lateinisch regula de tribus], manchmal auch Schlussrechnung, im österreichischen Sprachgebrauch nur Schlussrechung bzw. kurz Schlüsse) ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann.

Inhaltsverzeichnis [Verbergen] 1 Einfacher Dreisatz 1.1 Inhaltliches Lösen 1.2 Hintergrund 2 Erweiterungen 2.1 Umgekehrter Dreisatz 2.2 Verallgemeinerter Dreisatz 3 Beispiele 3.1 Beispiel 1 3.2 Beispiel 2 (einfacher und umgekehrter Dreisatz) 3.3 Beispiel 3 (verallgemeinerter Dreisatz) 4 Weblinks 5 Einzelnachweise

Einfacher Dreisatz Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A, umso mehr B.“ vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln (Verdreifachen, ...) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, ...). Gegeben ist ein Verhältnis von a Einheiten einer Größe A zu b Einheiten einer Größe B. Gefragt wird nach der Anzahl x Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu c Einheiten von A stehen. In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:

Größe A Größe B a b c x

Inhaltliches Lösen Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:

a Einheiten von A entsprechen b Einheiten von B. Einer Einheit von A entsprechen b / a Einheiten von B. c Einheiten von A entsprechen also Einheiten von B. In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert.

Größe A Größe B Rechne: a b durch a 1 b / a mal c c

Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt (siehe Beispiel 1).

Hintergrund Verhältnisse gehören zu den elementaren mathematischen Kenntnissen und erscheinen bereits in Euklids Elementen[1]. Die Dreisatzregel wird (ohne Begründung) als regula de tri in den Rechenbüchern von Adam Ries[2] angegeben. Die Bezeichnung Dreisatz rührt her von den drei gegebenen, in die Rechnung eingesetzten (in altem Deutsch: „gesatzten“) Größen. Heutige deutschsprachige Schulbücher deuten die Bezeichnung oft als das „Lösen in drei Sätzen“. In algebraischer Schreibweise handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um eine Verhältnisgleichung

a : b = c : x. Durch Umstellen der Gleichung gewinnt man die Lösung (Beispiel 2a).

Erweiterungen

Umgekehrter Dreisatz Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität, Beispiel 2b): Beim Halbieren (Dritteln, ...) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, ...). Dabei ergeben a Einheiten einer Größe A mit b Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt. Gefragt wird nach der Anzahl x Einheiten der Größe B, die mit c Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: . In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:

Rechne: Größe A Größe B Rechne: durch a a b mal a mal c 1 durch c c

Verallgemeinerter Dreisatz Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein (vgl. Beispiel 3).

Ausgehend von kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems bestimmen. Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden (man geht zuerst von a0 zu a1 über, dann von b0 zu b1 und schließlich von c0 zu c1). Alternativ können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden:

Originalbild



w_Tafelbilder_Dreisatz-Indirekt.jpg

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