Unterrichtsmaterial Mittelsenkrechte & Umkreis des Dreiecks (Wandtafelbild)

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jpg-Tafelbild

Mittelsenkrechte & Umkreis des Dreiecks

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Informationen

Einreihung im Stoffplan bzw. im Lehrplan der Schule

Typ :Wandtafelbilder, Tafelbilder
Format :jpg-Bild
Fach :Geometrie (Mathematik)

Lektionsreihe :Dreieck, Grundkonstruktionen

Stufe :Sekundarstufe 1, Realschule, Sekundarschule, Hauptschule
Klasse :7. Klasse, 1. Oberstufe

 

Vorschau

Anschauungsmaterial für die Schüler und SchülerInnen als Mustervorlage für die Lehrerin oder den Lehrer in einer jpg-Bilddatei

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Referenz

Hintergrundinformationen zu
den Inhalten an der Wandtafel

[ Umkreis © wikipedia.org ]

 

Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu [AB] sind von A und B gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu [BC] übereinstimmende Entfernungen von B und C. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (A, B und C) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer X3.

Sonderfälle [Bearbeiten] Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Radius [Bearbeiten] Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit folgenden Formeln berechnen:

Dabei stehen die Bezeichnungen a, b, c für die Seitenlängen und α, β, γ für die Größen der Innenwinkel. A bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt.

Koordinaten [Bearbeiten] Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (X3) Trilineare Koordinaten

Baryzentrische Koordinaten

Weitere Eigenschaften [Bearbeiten] Der Umkreismittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden. Nach dem Südpolsatz schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der Winkelhalbierenden des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis. Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt beträgt , wobei R den Umkreisradius und r den Inkreisradius bezeichnet (Satz von Euler). Die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius (siehe Satz von Carnot).

Originalbild



w_Tafelbilder_Mittelsenkrechte-Umkreis.jpg

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