Unterrichtsmaterial Steigungen & Gefälle (Wandtafelbild)

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jpg-Tafelbild

Steigungen & Gefälle

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Informationen

Einreihung im Stoffplan bzw. im Lehrplan der Schule

Typ :Wandtafelbilder, Tafelbilder
Format :jpg-Bild
Fach :Mathematik (Arithmetik & Algebra)
Lektionsreihe :Angewandtes Rechnen, Sachrechnen

Stufe :Sekundarstufe 1, Realschule, Sekundarschule, Hauptschule
Klasse :8. Klasse, 2. Oberstufe

 

Vorschau

Anschauungsmaterial für die Schüler und SchülerInnen als Mustervorlage für die Lehrerin oder den Lehrer in einer jpg-Bilddatei

(www.allgemeinbildung.ch bietet neben den interaktiven Übungen auch viele kostenlose Arbeitsblätter, Kopiervorlagen, Tafelbilder und Multimedia-Präsentationen als Unterrichtsmaterial für die Primarschule (Unterstufe, Mittelstufe), die Sekundarschule (Oberstufe, Hauptschule), die Gesamtschule und die Mittelschule (Gymnasium) zum gratis Download bzw. als Freeware an)
 

Referenz

Hintergrundinformationen zu
den Inhalten an der Wandtafel

[ Steigung © wikipedia.org ]

 

Die Steigung einer Geraden wird häufig durch den Buchstaben m bezeichnet. Verwendet man kartesische Koordinaten, so hat die Gerade, die durch zwei Punkte (x1 | y1) und (x2 | y2) festgelegt ist, die Steigung

Δx (sprich: Delta x) bedeutet dabei die Differenz der x-Werte, Δy entsprechend die Differenz der zu x zugeordneten y-Werte.

Für die abgebildete Gerade durch die Punkte (2 | 1) und (7 | 3) ergibt sich beispielsweise die Steigung:

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt. Nimmt man zum Beispiel ( − 3 | − 1) und (2 | 1), so erhält man:

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft.

Hat die Gerade die Steigung m und schneidet sie die y-Achse im Punkt (0 | c), so hat sie die Gleichung y = mx + c

Hinweis: Die zur y-Achse parallelen Geraden sind keine Funktionsgraphen und haben deshalb auch keinen Steigungswert. Man kann ihnen die Steigung "Unendlich" (∞) zusprechen.

Straßenverkehr [Bearbeiten] Hauptartikel: Gradiente

Steigungsangabe in Prozent auf einem VerkehrsschildDie Steigung einer Geraden spielt auch im Straßenverkehr eine Rolle. Das Verkehrszeichen für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff, allerdings wird sie in Prozent ausgedrückt. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro 100 m in waagrechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12 %).

Steigungswinkel [Bearbeiten] Aus der Steigung einer Geraden lässt sich der zugehörige Neigungswinkel (Steigungswinkel) bezogen auf die x-Achse berechnen:

Ein Zusammenhang aus der Trigonometrie besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens von einem der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten aus Gegenkathete und Ankathete ist. Damit ist klar, dass die Steigung der Tangens des Neigungswinkels (Winkel in Grad) gegenüber der positiven x-Achse ist:

m = tan(α). Bei der Angabe in Prozent (%) ist zu beachten, dass Neigungswinkel und Steigung nicht zueinander proportional sind. Es ist also nicht möglich, Winkel und Steigungen mit einem Dreisatz umzurechnen. Beispielsweise entspricht die Steigung 1 (= 100 %) einem 45°-Winkel, die Steigung 2 (= 200 %) dagegen einem Winkel von gerundet 63°. Für Neigungswinkel knapp unter 90° wächst die Steigung ins Unendliche. Um die Größe des Neigungswinkels herauszufinden, benötigt man die Umkehrfunktion des Tangens, also die Arcustangens-Funktion:

α = arctan(m). Im obigen Beispiel errechnet man:

Bei einer negativen Steigung der Geraden ist zu beachten, dass auch α nach α = arctan(m) negativ wird. Für kleine Winkel bzw. Steigungen sind Winkel und Steigung näherungsweise proportional. Näherungsweise entspricht 1 % Steigung einem Winkel von 0,57°, bzw. ein Winkel von 1° einer Steigung von 1,75 %.

Originalbild



w_Tafelbilder_Steigung-Gefaelle.jpg

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