Primzahlen : 01q


|  Home  |  Inhalt  |  A-Z  |  Material  |  Neu  |  Zufall  |  SiteMap  |  Suchen  |  Hilfe  |  Links  |  19.03.2017  |  © allgemeinbildung.ch  |


Wichtiger Hinweis !Finde zu jeder Frage die richtige(n) Antwort(en) !

Primzahl (in Bearbeitung !)

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei verschiedenen natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich selbst. Die Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, … Die fundamentale Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf den folgenden drei Konsequenzen aus dieser Definition: Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als eins sind, darstellen.
Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Jede dieser Eigenschaften könnte auch zur Definition der Primzahlen verwendet werden.

Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Bereits die antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die Jahrhunderte stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffende Fragen ungeklärt.

Über zweitausend Jahre lang wusste man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen zu ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, wo die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.

Die kleinsten Primzahlen
Die kleinsten Primzahlen sind
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, ...
Die Zahl 4 ist die kleinste zusammengesetzte Zahl: Sie hat genau drei positive Teiler (1, 2, 4). Die Zahl 6 ist die nächstgrößere zusammengesetzte Zahl; sie besitzt vier positive Teiler (1, 2, 3, 6). Die Liste der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ...

Praktische Anwendung
Eine wichtige Rolle spielen Primzahlen in der Kryptographie: Viele Verschlüsselungssysteme, beispielsweise RSA, basieren darauf, dass man zwar sehr schnell große Primzahlen multiplizieren kann, andererseits aber kein effizientes Faktorisierungsverfahren bekannt ist und allem Anschein nach auch nicht existiert. So ist es innerhalb von Sekunden problemlos möglich, zwei 500-stellige Primzahlen zu finden und miteinander zu multiplizieren. Mit den heutigen Methoden würde die Rückgewinnung der beiden Primfaktoren aus diesem 1000-stelligen Produkt dagegen Millionen von Jahren benötigen.